当今最复杂的椭圆曲线找到了！29个独立有理点打破18年记录

又是计算机帮了忙。

对现代密码学稍有了解的人都必定听过椭圆曲线的赫赫威名，但椭圆曲线本身依然还存在很多悬而未决的问题。今天，量子杂志作者 Joseph Howlett 介绍了这方面的一项打破 18 年记录的新突破：找到了一条迄今为止有理; ! K g z点模式最复杂的椭圆曲线。

^{宣布发现这条突破性曲线的邮件截图}

今年 8 月，两位数学家发现了一条打z H Q \ W破记录的怪异曲线。在此过程中，他们触及了一个仍待解决的重大难题 —— 其涉及到数学领域一类最古老、最基础的方h M P M \ Q O } 0程。

椭圆曲线至少可以追溯到古希腊，是许多研究领域` 1 a ;的核心。它i 9 J . u _ P们具有丰富的底层结构，数学家们用它开发了许多强大的技术和理论。在 1994 年 Andrg Q ] % z % O sew Wiles 著名的费马大定理（是当时数论领域最重要的未解问题之一）证明中，椭圆曲线就发挥了重要作用。椭圆曲线对现代密码学也至关重要。

即便如此，对于椭圆曲线的某些最w G } # 7 % @基本的问题，数学家们仍在寻找答案, P A , ? w 0 O。举个例子，他们常通过研究椭圆曲线上的特殊「有理点（rational point）」来描述其特征。在一条给定的曲线上，这些点会+ 3 o M Y d +形成清晰且有意义的模式。但我们目前尚不清楚这些模式的多样性和复杂程度D 8 *是否有极限。

通过解答这个问题，可让数学家们理解数量巨大且种类繁多的椭圆曲线世界 —— 这个世界中的许多曲线都仍未得到探h U a ] 6索。因此，数学家们开始探索这个世界的外围，寻找模式越来越奇怪的异常曲线。这个( A 6 # 5过程很艰辛，并且既需要创造力，也需要k + 0 r复杂的计算机程序。

现在，哈佛5 d ! N =大学的 Noam Elkies 和加利福尼亚州拉霍亚通信研究中心的 Zev Klagsbrun 这两位数学家发现了一条至今为止有理点模式最复杂的椭圆曲线，打破了 18 年前的记录。

「/ z v F H这个阻碍能否打破是一个重大问题。」克罗地亚萨格勒! 8 o B d $ – X布大学的 Andrej Dujella 说，「对M | H于我们所有研究和关注椭圆曲线的人来说，这是一个非常令人兴奋的结果。」

寻找有理性

椭圆曲线的形式为 y = x + Ax + B，其中， A 和 B 是有理数，它们看起来是这样的：

在椭圆曲线的r ; E y |研究中，数学家们特别关注其有理解 —— 即曲W L e y 1 I ( U k线上 x 值和 y 值都是有理数的点。俄亥俄州立大. g v ? _ ] ^ Z T学的 Ju K . f I \ v C Qennifer Park 表示：这实际上是人类数学历史上最古老的问题之一。

虽然找到简单类型方程的有理解相对直接，但椭圆曲线是真正存在许多未? W 9 x + d a ~解问题的第一类方程，布朗大学的 Joseph S6 : o } Yilverman 说道。「这仅仅是一个三次方程的两个变量，就已经足够复杂了。」

为了掌握椭q A B i H h |圆曲线的有理解，数学家们常常依赖于曲线的] Z b ?秩，这是一个衡量曲线上有理点密集程度的数字。秩为 0 的椭圆曲线只有有限数量的有理点。秩为 1 的椭圆曲线拥有无限多的有7 m [ \ 0 $理点，但所有这些点都按照一种简单的模式排列，这意味着如果你知道其中一个点，就可以遵循一个众所周知的程序s F . k G来找到其余的点。

高秩的椭圆曲线同样拥有无限多的有j p g u U k o (理点，但这些点之间的关系更加复杂9 ( m Z U a x j。例t N Y ( T ` u g如，如果你知道一个秩为 2 的椭圆曲线的有Q S # J M = j m C理解，你. x 3可以使用在秩为 1 情况下相同的程序来找到一整个家族的有理点。但是，这条曲线还有第二个家族的有理点。这意味着这些有理点分布在曲线上以更复杂的方式，形成多个线性独立的族群。

椭圆曲线的秩告诉数学家们需要多少个独立的点，即来自不同家族的点 —4 A #— 以定义其有理解的集合。秩越高，曲线上的有理点就越丰富。秩为 2 和秩为 3 的曲线都有无限多的有理解，但秩为 3 的曲线包含来自额外家族的有理点，这意味着在平均情况下，一O K e 1 M @定长度的曲线将包含更多这样的点。

几乎所有的椭圆曲线都已知是秩为 0 或秩为 1。但仍然有无限多的异常情况具有更高的秩 —— 并且这些曲线极其难以找到。

因此，数学家们不确定秩是否有限制。在相当长的一段时间里，大多数专家认M 8 ) 5 t M ; K _为理论上可以构造任何秩的曲线。最近的证据表明情况并非如此。由于没w t [ g * $有确凿的证明，数学家们只能就椭圆曲线的真实本质进行辩论，这正说明了这些方程还有很多未知之处U P v U f w 4 o ]。

更大的一盘棋

Elkies，一位杰出的数论学家。在 2000 年代中期，他正在专注于看似无关的研究，称为 K3 曲面。为了理解它们，Elkies 将} l D它们切割并观察各个部分。

想象一开始有一个简单的表面，一个平面。你可以将其切割成无限多的直线，这些直线并排放置。根据你切割的方式，最终得到h J (的线条将由不同z , 1 J | [ Y Q的方\ _ D | ) 4程定义。

同样地，有更复杂的、曲线b 0 j 1 V z的表面，当切割时，会产生无限多的椭圆曲线。自 1950 年代以来，数学家们一直在使用这些表面来b r Y x % ! l e e找寻高秩椭圆曲线。

^{Noam Elkies}

Elkies 意识到 K3 曲面足够奇特，可以让他接触到更奇特的曲线。2006 年，他以正确的方式对一个特定的 K3 曲面进行了切片，并在切片中u ^ v *发现了一条椭圆曲线，e W } ] N . 1 t他可以证明该曲线的秩至少为 28，打破了i L s 1 c R之前 24 的记录。这对椭圆曲线专家来说是一个激动人心的时刻，他们相信接下来可能会出现一大批打破纪录的人。

然而，之后8 , Y C !并无大的突破。Elkies 的记录保持了将近二十年 —— 这与自 1970 年代以来数学家们相对L 5 R稳定的刷新记录的速度形成了明显的背离。

这或许是一种迹象，表明秩毕竟可能是有限的，或者，这仅仅反映了这一研究确实很难？

在 2006 年 Elkies 公布他的发现之际，Zev Klagsbrun 正就读于纽约皇后学院本P s =科。他的一位教授，曾在 80 年代和 Elkies 比过同一场高中数学竞赛。在办公时间，Zev 被告知了这个破纪录的曲线的新消息。

这是 Zev 首次对寻找有理点产生兴趣。

^{Zev Klagsbrun}

Zev 对此很感兴趣。多年后，他重新审视了 Elkies 的结果，证明了一个猜想是正确的 ——Elkies 的曲线的秩恰好是 28。

因此，当 Zev 在 2019 年的一个会议上遇到 Elkies 时，他说服了 E0 l , u _ J hlkies 重新开始寻找新的曲线。

「我当时说，嘿，我愿意写代码，和我一起继续破解椭圆曲线的秘密吧！」Zev 说。

在 Elkies 同意之后，他们重新审视了十八年前 Elkies 研究过的 K3 曲面。当时，Elkies 通过切片，得到了结论：这些曲线的秩至少2 ~ & h Z &为 17，但他的目标是超越 24 的记录。x v % $ y T d B

由于无法直接计算每一条曲线的秩，Elkies 筛选出在数百万条曲线中最可能具有异常高秩的X r , j b ^ ; N候选，再手动计算这些曲线的秩，直到最终找到了那条秩为 28 的曲线。

Klagsbrun 提供了一个更快的计算方法，把 Elkies 能处理的数百万条，扩展到了数十万l 8 c t I | t Q n亿条。

这次更广泛的搜索，从) x u 7 +旧的曲线堆中发现了许多不寻常特性的曲线，但它们都没有打破 28 秩的记录。两人决定继续前D l P 2进。

四年过去了。然后就到了几个月前，Elkies 和 Klagsbrun 在一次会议上再次相遇，并开始交谈。

他们开始以不同的方式对 K3 曲面进行切片，得到了一个可以研究的新曲线堆。但是，切片方法有好几百f 5 ] ^ + 0种，而大多数切片方法似乎都不太可能得到他们想要的曲线。

然后，他们完全偶然地发现了一种切片方法，就像 El^ D Vkies 之前的那种方法一样^ \ B，可以得到一个曲线堆，并且保证其中所有曲线的秩都至少为 17。与其他方法相比，这种方法似乎更可能挖到宝。果然，使用 Klagsbrun 更强大的5 { B B W 7 G =计算技术，他们在* w + x D H S r +这个曲线堆中发现了一条秩至少为 29 的椭圆曲线。这条椭圆曲线具有迄今为_ F : @ R止发现过的最复杂的有理解集：需要至少 29 个独立点才能描述其. m ?特征。H O – ~ 2 k

这条曲线的方程如果写成 y = x + Ax + B 的形式，则 A 和 B 的值都有 60 个数字那么长。Elkies 和 KC J , e R | W Clagsbrun 找到的 29 个独立的有理解涉及的数同样巨大。

^{29 个独立点的 x 轴坐标}

抓住极限

对于椭圆曲线的秩是否有上限的问题，@ H B ` ~ u这[ u 0 P C & |个结果并未将其彻底解决。「现在我们已经找到了这一条秩更高的曲线，那就有理由3 , f ; q \ Z E h去希望」存在具有任意高的秩的曲线，Klagsbrun 说，「另一方面，老天，找到这一条就耗费了大量功夫。很显然想要找到更高秩的样本，还需要一些新思– | @ % z L # A %路。」

不过如果能将他和 Elkies 的努力推进得足够远，也许能够扭转局面。他们需要找到一个无限的曲+ x a X i g c 4线堆，保证其秩至少为 22（而不是 17，这是他们迄今为止所能做到的最好结果）。如果存在这样一个堆，那就会与「秩存在有限上限」的已有最有J p E y力证据相矛盾。

不管怎样，X & { ^ 5 j这条秩 29 曲线的发现都拓展了这个未知领域的边界。正如生物学家试图通过研究生活在极端环境中的生物来了解k B U * { k生命一样x L U z , G N B z，通过绘制椭圆曲线世界的极端边缘，数学家也可以获得很大x p p C收获。

^{原文链接：}

^{https://www.quag \ ; g ) P untamagazine.org/new-elliptic-cD R l l nurve-breaks-18-year-old-re` Z ( &cord-20241111/}

^{https://l# ] E 9 s Jistserv.nodak# w ? z E U 8 E =.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;b9d018b, ] l . e 0 } p ^1.2409&FT=&P=&H=&S=b}

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